最速曲线问题的解答

回到最开始的问题，我们已知 $$T={\int }_0^X\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{2gy}}dx$$ 注意到$x$并不显含于$F$，因此可以用前面的欧拉方程的另一种形式 $$F-y^{\prime }\cdot \frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=C$$ 有 $$\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=(2gy{)}^{-\frac{1}{2}}(1+y^{\prime 2}{)}^{-\frac{1}{2}}{y}^{\prime }$$ 代入欧拉方程 $$\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{2gy}}-\frac{y^{\prime 2}}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=C$$ 合并移项得 $$(1+(\frac{dy}{dx}{)}^2)y=\frac{1}{2g{C}^2}$$ 注意$\frac{1}{2g{C}^2}$是一个常数，我们令其为$k$ $$(\frac{dy}{dx}{)}^2=\frac{k-y}{y}$$ 所以 $$\sqrt{\frac{y}{k-y}}dy=dx$$ 注意到 $$\sqrt{\frac{y}{k-y}}=\sqrt{\frac{y/k}{1-\frac{y}{k}}}$$ 令$y/k=w$那么 $$\sqrt{\frac{y}{k-y}}=\sqrt{\frac{w}{1-w}}$$ 此时可以令$w=\frac{1}{2}(1-\cos \theta )$，因此 $$\sqrt{\frac{y}{k-y}}=\sqrt{\frac{\frac{1}{2}(1-\cos \theta )}{\frac{1}{2}(1+\cos \theta )}}=\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }$$ 所以可以进行换元，令$y=\frac{k}{2}(1-\cos \theta )dy=\frac{k}{2}\sin \theta d\theta$

所以 $$\sqrt{\frac{y}{k-y}}dy=\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1-\cos \theta }}\cdot \frac{k}{2}\sin \theta d\theta =dx$$ 化简得 $$\frac{k}{2}(1-\cos \theta )d\theta =dx$$ 对两边积分即可解出方程，得 $$x=\frac{k}{2}(\theta -\sin \theta )+C^{\prime }$$ 又已知$y_0=x_0=0$（过原点），因此可得最终的参数方程解 $$\{\begin{array}{rl}y& =\frac{k}{2}(1-\cos \theta )\\ x& =\frac{k}{2}(\theta -\sin \theta )\end{array}$$