Solow 模型

生产函数 $Y = F (K, L, t)$

其中 $Y$ 为产出，可以被消费（ $C$ ）或投资（ $I$ ）以创造新的实物资本单位。

$s$ 为被保存的产出比例， $1 - s$ 为被消费的产出比例， $0 ⩽ s ⩽ 1$

$δ$ 为折旧率，以此可计算某一时间点实物资本存量的增量：

$\dot{K} = I - δ \cdot K = s \cdot F (K, L, t) - δ \cdot K$ 其中 $\dot{K}$ 表示对时间的微分。

important

一个变量对时间的微分表达为： $\dot{K} = \frac{\partial K}{\partial t}$ ，之所以可以微分是因为 $K$ 也是关于时间 $t$ 的函数而不是一个变量，这是本书的一处变动，目的是减少大量的括号表达。

假设人口就是劳动力 $L$ ，它以恒定的外生速率 $n = \frac{L ˙}{L} \geq 0$ 增长，若 $t = 0$ 时人口归化为1，那么 $t$ 时的人口 $L_{t} = e^{n t}$

important

在宏观经济学中，一个变量的增长率常用这个变量对时间的微分除以这个变量本身。原因在于首先需要将变量做指数平滑，并对其自身求导，即 $\frac{\partial l n L}{\partial L} = \frac{1}{L}$ ，然后需要乘以这个变量对时间的微分，即 $\dot{L} = \frac{\partial L}{\partial t}$ ，两式相乘可以发现 $\frac{L ˙}{L} = \frac{\partial l n L}{\partial t}$

tip

有了上面的推导，实际上某一时刻的人口是两边积分得出来的，即 $\int \frac{\partial ln L}{\partial t} d t = \int n d t$ 此后的一些模型也会利用这一公式。

(Not very) Advanced Marcoeconomics

Solow 模型