资本运动定律

将某一时刻资本存量两边同除$L$：

$$\begin{array}{rl}\dot{K}=& s\cdot F\left(K,L\right)-\delta K\\ \frac{\dot{K}}{L}\left(\text{人均资本量}\right)=& s\cdot f\left(k\right)\text{（人均产出）}-\delta k\end{array}$$

现已定义$k\equiv \frac{K}{L}$，对其在时间上进行微分： $$\dot{k}\equiv \frac{d\left(\frac{K}{L}\right)}{dt}=\frac{\dot{K}L-K\dot{L}}{L^2}=\frac{\dot{K}}{L}-\frac{K}{L}\cdot \frac{\dot{L}}{L}=\frac{\dot{K}}{L}-nk$$

其中，$n=\frac{\dot{L}}{L}$为人口增长率。移项可得： $$\frac{\dot{K}}{L}=\dot{k}+nk$$ 代入最上面式子的左侧并移项： $$\dot{k}=s\cdot f(k)-(\delta +n)k$$ $(\delta +n)$在 式右侧可以被视为资本 / 劳动比率的有效折旧率。如果储蓄率$s$为 0，那么 $k$ 的下降可能是因为$K$的折旧率$\delta$上升，也有可能是因为$L$的增长率$n$上升。

（补充罗默书说明）

这是 Solow 模型的关键方程，它表明了单位有效劳动平均资本存量的变化率是以下两项之差：

• 第一项是$sf(k)$，由于单位有效劳动的平均产出是$f(k)$， 其中用于投资的比例是$s$，因此这一项即为单位有效劳动的实际投资
• 第二项是 $(n+\delta )k$，也叫持平投资，它代表了使得$k$保持在现有水平所需要的投资量。

为了防止$k$不断减少，追加一定数量的投资是必要的，其理由有两点：

• 一是现有资本会折旧，折旧的这部分资本必须得到补偿才能防止资本存量下降，这就是$\delta k$项

• 二是有效劳动的数量在增加，因此仅仅保持资本存量$K$不变的投资（即补偿折旧的投资）并不足以保持单位有效劳动的平均资本存量$k$不变。实际上，由于有效劳动数量的增长率为$n$，资本存量的增长率也必须是$n$才能保持$k$不变，就是$nk$项。

下图说明了这一变化的作用：