动态无效性

已知 $$s\cdot f(k^{\ast })=(n+\delta )k^{\ast }$$

又

$$c^{\ast }=(1-s)f[k^{\ast }(s)]$$

因此 $$c^{\ast }(s)=f[k^{\ast }(s)]-(n+\delta )k^{\ast }$$

对储蓄率求偏导 $$\frac{\partial c^{\ast }\left(s\right)}{\partial s}=\frac{\partial c^{\ast }\left(s\right)}{\partial k^{\ast }}\cdot \frac{\partial k^{\ast }(s)}{\partial s}=\left[f^{\prime }\left(k^{\ast }\right)-\left(n+\delta \right)\right]\cdot \frac{\partial k^{\ast }(s)}{\partial s}\text{\hspace{1em}(1.7.1)}$$

在(1.7.1)中，$k^{\ast }(s)$表示，每个$s$对应一个BGP状态下的$k^{\ast }$，已知储蓄率高的状态下人均资本量也高，因此可得$\frac{d{k}^{\ast }(s)}{ds}>0$。

因此若想让$c^{\ast }(s)$水平最高，条件为$f^{\prime }(k)=n+\delta$，此时的消费率称为黄金法则下的消费率(the “golden rule” consumption rate)：$c_g=f(k_g)-(n+\delta )k_g$

此外，$[f^{\prime }\left(k^{\ast }\right)-\left(n+\delta \right)]$的正负取决于决定$k^{\ast }$的$s$，同样已知储蓄率高的状态下人均资本量也高，那么这意味着最佳消费水平$c^{\ast }$在$s$低水平时随$s$增加而增加，在$s$低水平时随$s$增加而减少。

这里可以得出的结论是：若实际储蓄率高于$s_g$，那么经济体仍然可以在 BGP 或在向 BGP 转型的时期提升消费。即当资本存量过高时，资本的边际产出低于储蓄率，导致过度的资本积累，这就是动态无效性。