变分法的思想

回到前面的问题：

虽然我们暂时无法得知最佳路径$L_2$的具体表达，但我们至少可以知道这条曲线本身是存在的，我们记为$y^{\ast }$，而我们的目的，则是在众多的可能的$y$路径中找到这个最优路径。我们可以这样表示一条与最佳路径相邻的，同样可以从 O 运动到 A 的可能路径： $$y(x)=y^{\ast }(x)+\epsilon \eta (x)$$ 其中，$\epsilon$是一个常数，$\eta (x)$是一条路径，因为其同样可以从 O 运动到 A ，所以满足$\eta (0)=\eta (T)=0$。此外，$\eta (x)$ 必须是平滑的，因为不平滑的路径必然不会成为最佳路径——这实际上排除了大量弯弯绕绕的路径。总结下来也就是说，上面的式子就是在最佳路径的周围增加了扰动曲线，为的就是使得这个已知的$y^{\ast }$路径用时小于所有周围的扰动路线。

$y^{\ast }(x)$和$\eta (x)$是相对固定的，这意味着每个$\epsilon$值都将决定一条特定的相邻路径$y(x)$，从而决定最开始那个泛函的特定值。很容易发现，当 $\epsilon \to 0$ 时，相邻的路径将无限接近最优路径，也就是$\epsilon$直接决定了路径是否达到最优，到这里我们可以把前面的泛函改回我们熟悉的关于$\epsilon$的函数，我们记为$I(\epsilon )$ 。

显然，在 $\epsilon =0$ 时，$I(\epsilon )$ 取到极值，用微积分的表达就是 $${\frac{dI}{d\epsilon }|}_{\epsilon =0}=0$$ 这实际上就是极值路径的一个定义性质，由此可知$\frac{dI}{d\epsilon }=0$ 是极值路径的一个必要条件。但是这个式子使用的是任意变量$\epsilon$和任意扰动函数$\eta (x)$，因此实际无法进行操作，接下来的工作就是利用这些思想来进行推导。