预备定理

在进入变分法前需要先了解下面这个定理，这个定理非常直观，很好理解，这里也会给出非常简洁的代数证明。

定理

对于函数$M(x)$ 和任意满足$h(a)=h(b)=0$的函数 $h(x)$ ，若有 $${\int }_a^{b}M\left(x\right)h\left(x\right)dx=0$$ 那么 $$M(x)=0$$

证明

令$h(x)=-M(x)(x-a)(x-b)$，其满足$h(a)=h(b)=0$。

代入得 $${\int }_a^{b}M\left(x\right)h\left(x\right)dx={\int }_a^{b}M\left(x\right)\cdot -M(x)(x-a)(x-b))={\int }_a^b{M}^2(x)(-(x-a)(x-b))dx=0$$ 易知在$(a,b)$区间$-(x-a)(x-b)>0$，若要使得该式成立，那么一定有$M^2(x)=0$，所以可以得到 $$M(x)=0$$