外生技术增长的 Solow 模型

现允许要素生产率随时间变化，在 CD 函数中，这意味着 $A$ 随时间增加。设$\frac{\dot{A}}{A}=a>0$，在还未达到 BGP 时： $$\frac{\dot{y}}{y}=\frac{\dot{y}}{y}+\alpha \cdot \frac{\dot{k}}{k}=a+\alpha \cdot {\gamma }_k$$

在 BGP 时，$k$为常数，此时 $$\frac{\dot{y}}{y}=a$$

结论：从长远来看，技术进步是人均收入增长的唯一来源。

先将技术进步融入劳工：$L$不仅仅为劳动人口，而是人力资本，定义： $$E_t=L_t\cdot e^{\lambda t}=L_0\cdot e^{(\lambda +n)t}$$

此时生产函数为 $Y=F(K_t,E_t)$。从人均效率角度看，可以定义$k=\frac{K}{E}$，那么$\dot{k}=\frac{\dot{K}E-K\dot{E}}{E^2}$，此时 $$\begin{array}{rl}\frac{\dot{k}}{k}& =\frac{\dot{K}E-K\dot{E}}{E^2}\cdot \frac{E}{K}\\ & =\frac{\dot{K}E-K\dot{E}}{KE}=\frac{\dot{K}}{K}-\frac{\dot{E}}{E}\end{array}$$

已知${\gamma }_k=\frac{\dot{k}}{k}=\frac{sf(k)}{k}-(n+\delta )$，所以代入可得 $$\frac{\dot{k}}{k}=\frac{sf(k)}{k}-\delta -n-\lambda$$

两侧乘以$k$得 $$\dot{k}=sf(k)-(\delta +n+\lambda )k$$

当$\dot{k}=0$时，$\frac{sf(k)}{k}=(\delta +n+\lambda )$

$\dot{k}=0$时，处于BGP，因此 $$\frac{\dot{K}}{K}=\frac{\dot{E}}{E}=n+\lambda =\frac{\dot{Y}}{Y}$$

长期来看 $$\frac{\dot{\left(\frac{Y}{L}\right)}}{\frac{Y}{L}}=\frac{\dot{Y}}{Y}-\frac{\dot{L}}{L}=\lambda$$ （因为$\frac{\dot{Y}}{Y}=\lambda +n,\frac{\dot{L}}{L}=n$）