过渡动态

此外，Solow 模型在向 BGP 过渡的过程中也实现了增长

$$\dot{k}=sf(k)-(n+\delta )k$$

现令${\gamma }_k\equiv \frac{\dot{k}}{k}$，则有

$${\gamma }_k=\frac{sf(k)}{k}-(n+\delta )$$

在没到达BGP前，$\frac{sf(k)}{k}$是一个单调递减的函数，而$n+\delta$是一条水平直线，可以推论出BGP时的$k^{\ast }>0$存在且唯一。

进行微分：

$$\frac{d\dot{k}}{dk}=s\cdot f^{\prime }\left(k\right)-\left(n+\delta \right)$$

现代入BGP状态下的$k^{\ast }$，可以看到 BGP 点两边时的收敛趋势：

$${\frac{d\dot{k}}{dk}|}_{k=k^{\ast }}=s\cdot f^{\prime }\left(k^{\ast }\right)-\left(n+\delta \right)$$

可以看到，当满足（A）当$k<k^{\ast }$时$\dot{k}>0$和（B）当$k>k^{\ast }$时$\dot{k}<0$，资本存量$k^{\ast }$会收敛至 BGP，此时${\frac{d\dot{k}}{dk}|}_{k=k^{\ast }}<0$。

在 CD 函数条件下，这相当于 $${\frac{d\dot{k}}{dk}|}_{k=k^{\ast }}=s\cdot A\alpha {\left(\frac{sA}{n+\delta }\right)}^{-1}-(n+\delta )=(n+\delta )\left(\alpha -1\right)$$

若要满足${\frac{d\dot{k}}{dk}|}_{k=k^{\ast }}<0$，则需要$\alpha <1$——这意味着达到BGP的条件是边际收益递减。

边际收益递减意味着，如果人均资本$k$比较小，那么其边际产出$f^{\prime }(k)$相对较高。根据假设，储蓄率$s$恒定，因此人均资本$k$比较小时，投资储蓄的边际汇报$s{f}^{\prime }(k)$相对较高。又已知人均资本$k$以恒定的速率$n+\delta$进行折旧，因此此时资本增长$\dot{k}$也比较高。总而言之，$k<k^{\ast }$时，人均资本增长$\dot{k}$为正；$k>k^{\ast }$时，人均资本增长$\dot{k}$为负。