欧拉方程的推导

欧拉方程的成就，在于把前面不可操作的微分形式变得可操作。接下来的内容就是欧拉方程的推导。

回到泛函

根据定义，最优路径就是使得路径用时$T[y(x)]$最小的路径。任何路径必将经过某个$x$区间，因此路径的总值就是这些区间内路径的加总。根据微积分的思想，在连续时间情形下，$x_1$ 到 $x_2$ 区间的路径就是一个定积分。

在连续的路径上找到某个时刻的「路径」，我们需要三部分信息：开始阶段、开始状态、「路径」方向。由于每条「路径」都是无限小的，因此三部分信息可以表示为$x,y(x),y^{\prime }(x)$。如果存在某个函数$F$可以将这三个量转化为「路径」的值，那么某一路径$A$在某一时刻$x_0$的值可以写为$F[x_0,y_A(x_0),y_A^{\prime }(x_0)]$。所以整个泛函可以被改写为 $$T[y]={\int }_0^{x}F[x,y(x),y^{\prime }(x)]dx$$

从泛函到函数

有了上面的式子，加上前面对于可行路径的定义，前面的关于$\epsilon$的函数$I(\epsilon )$ 就可以写为 $$I(\epsilon )={\int }_0^{X}F[x,y^{\ast }+\epsilon \eta ,y^{\ast \prime }+\epsilon {\eta }^{\prime }]dx$$ 为了简化表达，这里将函数写成了变量。

我们最终的目标是 $${\frac{dI}{d\epsilon }|}_{\epsilon =0}=0$$ 被积的变量是 $x$，根据莱布尼兹法则，我们可以穿过积分符号对$\epsilon$进行求导。 $$\frac{dI}{d\epsilon }={\int }_0^X\frac{dF}{d\epsilon }dx\text{\hspace{1em}(2.4.1)}$$

全微分

为了简化过程，我们令$$u=y^{\ast }+\epsilon \eta v=y^{\ast \prime }+\epsilon {\eta }^{\prime }$$ 被积函数即为$F(x,u,v)$，根据全微分公式有 $$\frac{\partial F}{\partial \epsilon }=\frac{\partial F}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial \epsilon }+\frac{\partial F}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial \epsilon }+\frac{\partial F}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial \epsilon }$$ 显然，第一项为 0，后两项又有 $$\frac{\partial u}{\partial \epsilon }=\eta \frac{\partial v}{\partial \epsilon }={\eta }^{\prime }$$ 因此 $$\frac{\partial F}{\partial \epsilon }=\frac{\partial F}{\partial u}\cdot \eta +\frac{\partial F}{\partial v}\cdot {\eta }^{\prime }$$ (2.4.1)变为 $$\frac{dI}{d\epsilon }={\int }_0^X(\frac{\partial F}{\partial u}\cdot \eta +\frac{\partial F}{\partial v}\cdot {\eta }^{\prime })dx\text{\hspace{1em}(2.4.2)}$$

极值点

现在让$ϵ=0$，注意到，此时$u=y^{\ast },v=y^{\ast \prime }$，所以 $${\frac{dI}{d\epsilon }|}_{\epsilon =0}={\int }_0^X(\frac{\partial F}{\partial y^{\ast }}\cdot \eta +\frac{\partial F}{\partial y^{\ast \prime }}\cdot {\eta }^{\prime })dx=0$$ 利用积分的性质，被积函数第一项暂且不看，先看第二项，注意$\eta$是关于$x$的函数，所以可以写为 $${\int }_0^x\frac{\partial F}{\partial y^{\ast \prime }}\cdot \frac{\partial \eta }{\partial x}dx={\int }_0^x\frac{\partial F}{\partial y^{\ast \prime }}d\eta$$ 这时候就可以使用分部积分法$\int udv=uv-\int vdu$求积分。 $${\int }_0^X\frac{\partial F}{\partial y^{\ast \prime }}d\eta ={\eta \frac{\partial F}{\partial y^{\ast \prime }}|}_0^X-{\int }_0^X\eta \frac{\partial }{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^{\ast \prime }})$$ 由于$\eta (x)$和最优路径有相同的起点和终点，因此第一项显然为 0。代回原式可得： $${\frac{dI}{d\epsilon }|}_{\epsilon =0}={\int }_0^X(\frac{\partial F}{\partial y^{\ast }}\cdot \eta -\eta \frac{\partial F_{y^{\ast \prime }}}{dx})dx={\int }_0^X\eta [\frac{\partial F}{\partial y^{\ast }}-\frac{\partial F_{y^{\ast \prime }}}{dx}]=0$$ 现在我们可以使用 2.2 中的定理了。要使得这个微分结果为0，这意味着有 $$F_{y^{\ast }}-\frac{\partial }{dx}{F}_{y^{\ast \prime }}=0t\in [x_1,x_2]$$

这就是欧拉方程（Euler equation），它就是极值路径的一个必要条件。